Question

已知抛物线Γ：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆4x²+20y²=5的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）动直线l恒过点M（0，1）与抛物线Γ交于A、B两点，与x轴交于C点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）化椭圆方程为标准方程，确定椭圆的右焦点，可得抛物线的焦点，进而可得抛物线的方程；
（Ⅱ）解法一：设直线l的方程代入到抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，确定线段MA，MB，MC，AB的长，计算可得结论；
解法二：利用向量的方法，确定M、A、B三点共线，且==|MC|²．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆方程为：，∴，…（2分）
∴c²=1，即椭圆的右焦点为（1，0），
因为抛物线的焦点为（，0），所以p=2，…（3分）
所以抛物线的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）解法一：设直线l：y=kx+1（k≠0），则C（-，0），
由得k²x²+2（k-2）x+1=0，…（6分）
因为△=4（k-2）²-4k²＞0，所以k＜1，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，…（8分）
所以由弦长公式得：，，，，…（10分）
|MA|•|MB|=（1+k²）•|x₁x₂|=（1+k²）•=|MC|²．…（11分）
若|MA|•|MB|=|AB|²，则，不满足题目要求．…（12分）
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．…（13分）
解法二：同法一得，…（8分）
而=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=（x₁，kx₁）•（x₂，kx₂）
=（1+k²）x₁x₂==，
因为C（-，0），所以|MC|²=1+．…（10分）
因为M、A、B三点共线，且向量、同向，
所以==，…（11分）
因此==|MC|²．
所以存在三线段MA、MC、MB的长成等比数列．…（13分）
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查抛物线的方程，考查直线与武平县的位置关系，考查韦达定理的运用，考查等比数列的判定，属于中档题．