Question

16．已知a为实数，函数f（x）=a•lnx+x²-4x．
（Ⅰ）令a=-6，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；
（Ⅲ）若存在区间[2，3]⊆D，使得函数f（x）在D上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令a=-6，利用导数的正负求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用f′（1）=a-2=0，求出a，再进行验证即可；
（Ⅲ）若存在区间[2，3]⊆D，使得函数f（x）在D上单调递增，f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4≥0在[2，3]上恒成立，分离参数求最大值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）令a=-6，f（x）=-6lnx+x²-4x，
∴f′（x）=-$\frac{6}{x}$+2x-4=$\frac{2（x-3）（x+1）}{x}$，
∴函数f（x）的单调增区间是（3，+∞），单调减区间是（0，3）；
（Ⅱ）f（x）=a•lnx+x²-4x，则f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4，
由f′（1）=a-2=0，可得a=2，
f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$≥0，∴不存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值；
（Ⅲ）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4≥0在[2，3]上恒成立，
∴a≥4x-2x²
令y=4x-2x²=-2（x-1）²+2，则y∈[-6，0]，
∴a≥0．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．