Question

（本小题满分12分）

设函数f (x)＝，其中a∈R．

（1）若a＝1，f (x)的定义域为［0，3］，求f (x)的最大值和最小值．

（2）若函数f (x)的定义域为区间（0，＋∞），求a的取值范围使f (x)在定义域内是单调减函数．

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)_max=，f (x)_min＝－1；（2）a＜－1。

【解析】

试题分析：f (x)＝＝＝a－，

设x₁，x₂∈R，则f (x₁)－f (x₂)＝＝．        ……2分

（1）当a＝1时，设0≤x₁＜x₂≤3，则f (x₁)－f (x₂)＝．

又x₁－x₂＜0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0，所以f (x₁)－f (x₂)＜0，

∴f (x₁)＜f (x₂)，                                   ……4分

所以f (x)在［0，3］上是增函数，所以f (x)_max＝f (3)＝1－＝；

f (x)_min＝f (0)＝1－＝－1．                        ……7分

（2）设x₁＞x₂＞0，则x₁－x₂＞0，x₁＋1＞0，x₂＋1＞0

要f (x)在（0，＋∞）上是减函数，只要f (x₁)－f (x₂)＜0

而f (x₁)－f (x₂)＝，所以当a＋1＜0即a＜－1时，有f (x₁)－f (x₂)＜0，所以f (x₁)＜f (x₂)，

所以当a＜－1时，f (x)在定义域（0，＋∞）上是单调减函数．       ……12分

考点：本题考查函数的性质：单调性；定义域；最值。

点评：对于形如的函数，我们常采取分离常数法化为的形式。而的图像可以有反比例函数的图像经过平移伸缩变换得到。