Question

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m+1=0的两个实根，又f（m）=x²₁+x²₂，求f（m）的解析式及此函数f（m）的最小值．

Answer 1

分析：利用方程的判别式，确定m的范围，再根据根与系数的关系，化简f（m）的解析式，利用配方法，可求函数f（m）的最小值．

解答：解：∵x₁，x₂是x²-2（m-1）x+m+1=0的两个实根，
∴△=4（m-1）²-4（m+1）≥0，
解得m≤0或m≥3．
又∵x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m+1，
∴y=f（m）=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4m²-10m+2，
即y=f（m）=4m²-10m+2=4(m-

5

4

)2-

17

4

∵m≤0或m≥3．
∴m=0时，f（m）最小值为2．

点评：本题重点考查根与系数的关系，考查二次函数的最值，解题的关键是构建二次函数模型，利用配方法求函数的最值．