Question

（2013•宜宾二模）已知函数f(x)=

-x2-2x+a(x＜0) f(x-1)(x≥0)

，且函数y=f（x）-x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，+∞）

B．[-1，0）

C．[-1，+∞）

D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：由题意可得当x≥0时，函数的周期为1，而当x∈[-1，0）时，y=-x²-2x+a=-（x+1）²+1+a，图象为开口向下的抛物线，结合二次函数的图象，分类讨论可得．

解答：解：∵当x≥0时，f（x）=f（x-1），
∴此时的周期为1，对于所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相当于在[-1，0）重复的周期函数，
当x∈[-1，0）时，y=-x²-2x+a=-（x+1）²+1+a，
图象为开口向下的抛物线，对称轴x=-1，顶点（-1，1+a），
结合二次函数的图象可知：
（1）如果a＜-1，函数y=f（x）-x至多有2个不同的零点；
（2）如果a=-1，则y有一个零点在区间（-1，0），有一个零点在（-∞，-1），一个零点是原点；
（3）如果a＞-1，则有一个零点在（-∞，-1），y右边有两个零点，
综上可得：实数a的取值范围是[-1，+∞）
故选：C．

点评：本题考查函数的零点，转化以及数形结合是解决问题的关键，属中档题．