Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+

3

2

＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性定义去证明函数的单调性．
（2）利用（1）的证明结论，利用函数的单调性求参数m的取值范．
（3）要使g（x）+2x+

3

2

＞0恒成立，实质是最值恒成立，只需求出函数g（x）+2x+

3

2

的最小值即可，在求最小值的过程中可以使用基本不等式来求．

解答：解：（1）由题得f（x）=x+

a

x

+a，设1≤x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

…（2分）
因为1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂0．所以f（x₁）-f（x₂）＜0…（4分）
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，要满足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）
（3）g（x）=xf（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0得：x2+a(x+1)+2x+

3

2

＞0，即a(x+1)＞-(x+1)2-

1

2

 ①
因为x∈[2，5]时，x+1∈[3，6]，那么①式可转化为a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

…（9分）
所以题目等价于化为a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函数y=-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=(x+1)+

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）
令t=x+1，则t∈[3，6]，所以y=t+

1

2t

，由（1）得y=t+

1

2t

，
在t∈[3，6]，上为增函数，所以最小值为

19

6

．所以-

19

6

＜a＜1．…（12分）

点评：本题考查了函数的单调性的定义以及函数单调性的应用．不等式恒成立往往转为最值恒成立．求函数的最值，可以使用导数，单调性以及基本不等式等方法去求最值．