Question

17．数列{a_n}中，a₁=1，（n-1）a_n-na_n-1=2n（n-1）（n≥2）．
（1）证明{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）将条件两边除以n（n-1），再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求；
（2）求得当n≥3时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$=$\frac{2}{2n（2n-1）}$＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$，再由放缩法和裂项相消求和，即可得证．

解答 解：（1）证明：由（n-1）a_n-na_n-1=2n（n-1），
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2，
即有数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项为1，公差为2的等差数列，
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
即有a_n=n（2n-1）；
（2）证明：当n≥3时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$=$\frac{2}{2n（2n-1）}$
＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$，
则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{6}$+$\frac{2}{6•5}$+…+$\frac{2}{2n（2n-1）}$
＜1+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n-1}$＜$\frac{3}{2}$．
则有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用等差数列的定义和通项公式，考查数列不等式的证明，注意运用放缩法，属于中档题．