Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2

3

sin²ωx+

3

（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）=

2

3

，求sin（

5

6

π-4a）的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；
（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）由f（a）=

2

3

，可得sin（2a+

π

3

）=

1

3

，根据sin（

5

6

π-4a）=sin[

3π

2

-2（2a+

π

3

）]=-cos[2（2a+

π

3

）]=2sin²（2a+

π

3

）-1，即可求得结论．

解答：解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx-2

3

sin²ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）
∵直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，
∴函数的最小正周期为π
∴

2π

2ω

=π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+

π

3

）
∴-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）=

2

3

，∴sin（2a+

π

3

）=

1

3

∴sin（

5

6

π-4a）=sin[

3π

2

-2（2a+

π

3

）]=-cos[2（2a+

π

3

）]=2sin²（2a+

π

3

）-1=-

7

9

．

点评：本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键．