Question

4．设是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2-x）时，当x∈[-2，0]时，$f（x）={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}-1$，若（-2，6）在区间内关于x的方程xf（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{4}，1）$
• B． （1，4）
• C． （1，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=-log_a（x+2）的图象恰有4个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，$f（x）={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}-1$，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=log_a（x+2）（a＞1）在区间（-2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=f（6）=1，
则对于函数y=log_a（x+2），
由题意可得，当x=6时的函数值小于1，
即log_a8＜1，
由此解得：a＞8，
∴a的范围是（8，+∞）
故选D．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．