Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，侧棱AA₁垂直于底面，D、E分别为BC、B₁C₁的中点，F为侧棱BB₁上的一点．
（Ⅰ）求证：A₁E∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ADF⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明四边形A₁AED为平行四边形，可得A₁E∥AD，由AD?平面AFD，A₁E?平面AFD，即可证A₁E∥平面ADF；
（Ⅱ）先证明AD⊥BC，AD⊥ED，从而可证AD⊥平面BCC₁B₁，即可证明平面ADF⊥平面BCC₁B₁．

解答： 证明：（Ⅰ）∵如下图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，侧棱AA₁垂直于底面，D、E分别为BC、B₁C₁的中点
∴B1E

∥

.

BD，
∴ED

∥

.

A₁A
∴四边形A₁AED为平行四边形，可得A₁E∥AD
∵AD?平面AFD，A₁E?平面AFD，
∴A₁E∥平面ADF；
（Ⅱ）∵AB=AC，D、E分别为BC、B₁C₁的中点
∴AD⊥BC
∵侧棱AA₁垂直于底面，由（I）得ED∥A₁A
∴AD⊥ED
又∵AD∩ED=D
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
又∵AD?平面AFD，
∴平面ADF⊥平面BCC₁B₁．

点评：本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于中档题．