Question

如图是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被一个平面截去一部分后得到的几何体ABCD-A₁EFD₁，其中EF∥BC，且AB=2AA₁=2A₁D₁=2A₁E．
（1）求异面直线CE与DB所成的角；
（2）若在棱CD上存在点G，满足AF⊥平面D₁EG，试确定点G的位置．

Answer 1

分析：（1）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，要求直线CE与DB的夹角，代入向量夹角公式，可先求出

CE

与

DB

所成角的余弦，进而可求角
（2）可先设G的坐标，由AF⊥平面D₁EG，可知

AF

⊥

EG

，

AF

⊥

ED1

，利用向量的数量积的性质可求

解答：解：（1）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=2a，由AB=2AA₁=2A₁D₁=2A₁E．
可AB=2AA₁=2A₁D₁=2A₁E=2a，依题意得D（0，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），E（a，a，a）F（0，a，a），A（a，0，0），D₁（0，0，a）
∴

DB

=（a，2a，0），

CE

=（a，-a，a）
∴cos＜

DB

，

CE

＞=

DB • CE

| DB || CE |

=

-a2

5 a• 3 a

=

- 15

15

∴异面直线CE与DB所成的角为arccos

15

15

（2）证明：设G（0，m，0）易知

AF

=（-a，a，a），

EG

=（-a，m-a，-a），

ED1

=(-a，-a，0)
∵AF⊥平面D₁EG，
∴

AF

⊥

EG

，

AF

⊥

ED1

，
∴

AF

•

EG

=（-a）•（-a）+a（m-a）-a•a=0
∴m=a即G（0，a，0）
∴G为CD的中点时，满足AF⊥平面D₁EG，

点评：本题考查的知识点是用空间向量求异面直线间的夹角、直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将空间线、面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．