Question

设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．
（3）p为何值时，函数g（x）=a^x-b^x+p与x轴有两个交点．

Answer 1

（1）由题意，列方程组

log2(a-b)=1 log2(a2-b2)=log212

求得a=4，b=2..（4分）
（2）由（1）知f（x）=log₂（4^x-2^x）=log2[(2x-

1

2

)2-

1

4

]
∵1≤x≤2∴2≤2^x≤4（2分）
故t=(2x-

1

2

)2-

1

4

在[1，2]上单调递减
∴f（x）的最大值=f（2）=log₂12（2分）
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，则4^x-2^x+p=0有两个不同解．
令t=2^x则t＞0故t²-t+p=0有两个不同正根（2分）
即△=1-4p＞0且p＞0，（2分）
解得0＜p＜1/4．（2分）