Question

12．已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式a_n和S_n； 
（2）记b_n=$\frac{a_n}{2^n}$的前n项和T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）先利用等差数列的性质以及S₃=12求出a₂=4；再代入2a₁，a₂，a₃+1成等比数列，求出公差即可求{a_n}的通项公式和前n项和；
（2）把（1）的结论代入，直接利用数列求和的错位相减法即可求T_n．

解答 解：（1）∵S₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，所以a₂=4．
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比数列，
∴a₂²=2a₁•（a₃+1），
即a₂²=2（a₂-d）•（a₂+d+1），
解得，d=3或d=-4（舍去），
∴a₁=a₂-d=1，
故a_n=3n-2，
S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n；
（2）b_n=$\frac{a_n}{2^n}$=（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=1$•\frac{1}{2}$+4•$\frac{1}{4}$+7•$\frac{1}{8}$+…+（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①
①×$\frac{1}{2}$得$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+4•$\frac{1}{8}$+7•$\frac{1}{16}$+…+（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．②
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+3（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+3•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
∴T_n=4-$\frac{3n+4}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．