Question

10．某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12-x）²万件．
（1）求分公司一年的利润y（万元）与每件产品的售价的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润y最大，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出每件产品的利润，乘以价格得到利润y（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）求出利润函数的导函数，可得函数在[9，11]上的单调性，即可得到利润函数的最值．

解答 解：（1）分公司一年的利润y（万元）与售价x的函数关系式为
L=（x-3-3）（12-x）²=（x-6）（144+x²-24x）
=x³-30x²+288x-864，x∈[9，11]；
（2）函数的导数为y′=3x²-60x+288
=3（x²-20x+96）=3（x-12）（x-8），
当x∈[9，11]时，y′＜0，L单调递减，
于是当每件产品的售价x=9时，
该分公司一年的利润最大，且最大利润y_max=27万元．

点评 本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，是中档题．