Question

已知A={x|x²+2x-8≥0}，B={x|

9-3x

≤

2x+19

}，C={x|x²+2ax+2≤0}．
（1）若不等式bx²+10x+c≥0的解集为A∩B，求b、c的值；
（2）设全集U=R，若C⊆B∪C_UA，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出集合A中一元二次不等式的解集，然后把集合B中的不等式两边平方后得到一个一元一次不等式，求出解集，同时考虑被开方数大于等于0列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，然后求出两解集的交集即可得到集合B，求出两集合的交集即可，由求出的交集得到2和3为原不等式左边等于0方程的两个解，然后根据韦达定理即可求出b和c的值；
（2）先求出集合A在全集为R上的补集，然后与集合B求出并集，即可得到B∪C_UA，由集合C为B∪C_UA的子集，考虑当集合C为空集时，得到△小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到此时a的取值范围；当集合C不为空集时，令集合C中的不等式的左边等于得到一个关于x的方程，求出方程的两个解，由这两个解在求出的B∪C_UA的区间内，列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，即可得到此时a的取值范围，求出两种情况a范围的并集即可．

解答：解：由集合A中的不等式x²+2x-8≥0，
因式分解得：（x+4）（x-2）≥0，解得x≥2或x≤-4，所以集合A=（-∞，-4]∪[2，+∞）；
由集合B中的不等式

9-3x

≤

2x+19

，两边平方得：9-3x＜2x+19，且

9-3x≥0 2x+19≥0

，
解得-2＜x≤3，所以B=（-2，3]，
则A∩B=[2，3]，所以2和3为bx²+10x+c=0的两个解，则-

10

b

=2+3=5，
解得b=-2，

c

b

=2×3，所以c=-12；

（2）由全集为R，集合A=（-∞，-4]∪[2，+∞），得到C_UA=（-4，2），
又B=（-2，3]，得到B∪C_UA=（-4，3]，
当C=∅时，得到△=4a²-8＜0，即4（a-

2

）（a+

2

）＜0，解得a∈(-

2

，

2

)；
C≠φ时，由题意可得：

4a2-8≥0① -2a- 4a2-8 2 ≥-4② -2a+ 4a2-8 2 ≤3③

，
由①解得a≥

2

或a≤-

2

；由②解得a≤

9

4

；由③解得a≥-

11

6

，
则a∈[-

11

6

，-

2

]∪[

2

，

9

4

]，
综上，a∈[-

11

6

，

9

4

]．

点评：此题考查了一元二次不等式及其他不等式的解法，考查了交集、并集及补集的混合运算，是一道综合题．