Question

【题目】已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC= ，点N时线段AD的中点．
（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出 的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点

证明：连接PN，∵N是AD的中点，P是FE的中点，∴PN∥AF，

又PN平面MNC，AF平面MNC，

∴直线AF∥平面MNC．

∵PE∥AD，AD∥BC，∴PE∥BC，

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PN⊥AD，又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，PN面ADEF，

所以PN⊥面ABCD．

故PN⊥ND，PN⊥NC．

以N为空间坐标原点，NC，ND，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，

∵∠ADC= ，AD=DC=2，∴△ADC为正三角形，NC= ，

∴N（0，0，0），C（ ，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），

∴ =（0，1，1）， =（ ，0，0）， =（0，0，1）， =（ ，﹣1，0），

设平面NEC的一个法向量n1=（x，y，z），则由n1 =0，n1 =0可得

令y=1，则n1=（0，1，﹣1）．

设平面CDE的一个法向量n2=（x1，y1，z1），则由n2 =0，n2 =0可得

令x1=1，则n2=（1， ，0）．

则cos＜n1，n2＞= ，

设二面角N﹣CE﹣D的平面角为θ，则sinθ= ，

∴二面角N﹣CE﹣D的正弦值为

【解析】（Ⅰ） 作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点，由PE∥AD，AD∥BC，得PE∥BC， ，（Ⅱ）由（Ⅰ）得PN⊥ND，PN⊥NC，以N为空间坐标原点，NC，ND，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，N（0，0，0），C（ ，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），利用向量法求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．