Question

设函数f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M、T；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式将已知函数解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用三角函数的图象和性质计算最值和周期即可；
（2）将内层函数置于外层函数的减区间上，解不等式即可得函数的单调递减区间

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sin2x=2（sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x）=2sin(2x+

π

6

)
∴M=2，T=

2π

2

=π
（2）当2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，即x∈[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈R)时，f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈R)．

点评：本题考查了二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，复合函数单调区间的求法，属中档题