Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆M的一个焦点，又点A在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的方向向量为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出抛物线的焦点坐标，进而设出椭圆方程，再把点A代入方程求出a，即可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）先利用直线l的方向向量为，求出直线的斜率，设出直线方程；再与椭圆方程联立，求出B、C两点的坐标与m的关系；再求出B、C两点之间的线段长以及点A到BC的距离，代入△ABC面积的表达式，再结合不等式的有关知识求出△ABC面积的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为，故设椭圆方程为．
将点代入方程得，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求椭圆方程为．（6分）
（Ⅱ）设直线BC的方程为，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0，可得m²＜8．（*）
由，
故．
又点A到BC的距离为，
故，
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足*式）
所以△ABC面积的最大值为．（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．第一问涉及到了求抛物线的焦点坐标，在求抛物线的焦点坐标时，一定注意先把抛物线方程转化为标准形式，再求解，避免出错．