Question

如图所示，F为双曲线C：

x2

9

-

y2

16

=1的左焦点，双曲线C上的点P_i与P_7-i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|-|P₄F|-|P₅F|-|P₆F|的值是

 

．

Answer 1

分析：首先设右焦点为M，再由点P_i与P_7-i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP₁|=|MP₆|，|FP₂|=|MP₅|，|FP₃|=|MP₄|，然后根据双曲线的定义得出|MP₆|-|P₆F|=2a=6，|MP₅|-|P₅F|=2a=6，|MP₄|-|P₄F|=2a=6，进而求出结果．

解答：解：设右焦点为M，
∵双曲线C上的点P_i与P_7-i（i=1，2，3）关于y轴对称    即P₁和P₆，P₂和P₅，P₃和P_{4^{分别关于y轴对称}}
∴|FP₁|=|MP₆|，|FP₂|=|MP₅|，|FP₃|=|MP₄|
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|-|P₄F|-|P₅F|-|P₆F|=（|MP₆|-|P₆F|）+（|MP₅|-|P₅F|）+（|MP₄|-|P₄F|）
根据双曲线的第二定义可知
|MP₆|-|P₆F|=2a=6，|MP₅|-|P₅F|=2a=6，|MP₄|-|P₄F|=2a=6
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|-|P₄F|-|P₅F|-|P₆F|=18
故答案为18．

点评：本题考查了双曲线的性质，要灵活运用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题．