Question

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，则x²y的最大值为______．

Answer 1

法一：由x+2y=1，可得x=1-2y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0 1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

∴x²y=（1-2y）²y=

1

4

(1-2y)(1-2y)(4y)≤

1

4

•(

1-2y+1-2y+4y

3

)3
=

1

4

×

8

27

=

2

27

当且仅当1-2y=4y即y=

1

6

，x=

2

3

时取等号
则x²y的最大值为

2

27

故答案为

2

27

法二：由x+2y=1，可得x=1-2y
∴x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0 1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

令f（y）=4y³-4y²+y（0＜y＜

1

2

），则f′（y）=12y²-8y+1
∵0＜y＜

1

2

令f′（y）＜0恒可得

1

6

＜y＜

1

2

令f′（y）≥0可得0＜y≤

1

6

∴函数f（y）=4y³-4y²+y在（

1

6

，

1

2

）单调递减，在（0，

1

6

]上单调递增
∴当y=

1

6

时取得最大值

2

27

故答案为

2

27