Question

6．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）将曲线C₁的极坐标方程化为直角方程，C₂的参数方程化为普通方程；
（2）设P是曲线C₁上任一点，Q是曲线C₂上任一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁的极坐标方程为$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=3，能求出曲线C₁的直角坐标方程，由cos²θ+sin²θ=1，能求出曲线C₂的普通方程．
（2）曲线C₂：x²+（y+2）²=4是以（0，-2）为圆心，以2为半径的圆，求出圆心（0，2）到曲线C₁的距离d，由|PQ|的最小值为：d-r，能求出结果．

解答 解：∵曲线C₁的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3，
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=3，
∴曲线C₁的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y+6=0$．
∵曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C₂的普通方程为：x²+（y+2）²=4．
（2）∵曲线C₂：x²+（y+2）²=4是以（0，-2）为圆心，以2为半径的圆，
圆心（0，2）到曲线C₁：$\sqrt{3}x-y+6=0$的距离d=$\frac{|0+2+6|}{\sqrt{3+1}}$=4，
P是曲线C₁上任一点，Q是曲线C₂上任一点，
∴|PQ|的最小值为：d-r=4-2=2．

点评 本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查两点间距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．