Question

（2012•安庆模拟）设a＞0，函数f（x）=lnx-ax，g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（1）证明：当x＞1时，g（x）＞0恒成立；
（2）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个相异零点x₁、x₂，求证：x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析：（1）可转化为证明当x＞1时，g（x）_min＞0，从而可用导数求函数g（x）的最小值．
（2）利用导数研究函数f（x）在定义域上的单调性、最值，再结合其图象即可得出a的限制条件；
（3）不妨令x₁＞x₂＞0，用分析法对x₁x₂＞e²进行等价转化，最后可构造函数借助（1）问结论得证．

解答：（1）证明：g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，由于已知x＞1，∴g'（x）＞0恒成立∴g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）＞g（1）=0
∴x＞1时，g（x）＞0恒成立．
（2）f（x）=lnx-ax的定义域是（0，+∞），f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
由于a＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，
∴f（x）在(0，

1

a

)上递增，在(

1

a

，+∞)上递减．
∴f(x)≤f(

1

a

)=-lna-1，欲使函数f（x）无零点，则只要-lna-1＜0，即lna＞-1，∴a＞

1

e

．
故所求a的范围是(

1

e

，+∞)．
（3）因为f（x）有两个相异的零点，又由于x＞0，
故不妨令x₁＞x₂＞0，且有lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂ ，∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
要证x1x2＞e2?ln(x1x2)＞2?lnx1+lnx2＞2?a＞

2

x1+x2

?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?lnx1-lnx2＞

2(x1-x2)

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

令t=

x1

x2

，则t＞1，故只要证明lnt＞

2(t-1)

t+1

，t＞1时恒成立，
而由（1）知t＞1时，lnt-

2(t-1)

t+1

＞0恒成立，即lnt＞

2(t-1)

t+1

恒成立，从而证明x1x2＞e2．
故x₁x₂＞e²．

点评：本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决．本题（3）问难度较大，需要恰当构造函数借助（1）问结论解决．