Question

13．已知函数f（x）=$\frac{5x}{x+3}$，f[g（x）]=4-x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数g（x）的解析式，并指出其定义域；
（3）求函数g（x）在x∈[2，4]时的值域．

Answer 1

分析 （1）根据解析式代入可得
（2）化简得出$\frac{5g（x）}{g（x）+3}$=4-x，解方程组可得．
（3）分离分子得出g（x）=$\frac{12-3x}{1+x}$=-3$+\frac{15}{x+3}$，判断单调性即可求解值域．

解答 解；（1）∵函数f（x）=$\frac{5x}{x+3}$，
∴f（1）=$\frac{5×1}{1+3}$=$\frac{5}{4}$，
（2）∵函数f（x）=$\frac{5x}{x+3}$，f[g（x）]=4-x．
∴$\frac{5g（x）}{g（x）+3}$=4-x，
得出：g（x）=$\frac{12-3x}{1+x}$，x≠-1，
（3）g（x）=$\frac{12-3x}{1+x}$=-3$+\frac{15}{x+3}$，在x∈[2，4]时，
根据解析式判断g（x）在x∈[2，4]单调递减，
∴g（4）≤g（x）≤g（2）
∵g（2）=0，g（4）=$\frac{-6}{7}$，
∴函数g（x）在x∈[2，4]时的值域：[-$\frac{6}{7}$，0]

点评 本题考察了函数的概念，性质，关键是理解解析式的含义，判断单调性，属于中档题．