Question

若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   （0，+∞）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由题意可得当x＞0时，f（x）=x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的图象有2个交点，当k=0时，满足条件；当f（x） 和
g（x）的图象在（0，+∞）上相切时，由f′（x）=g′（x）可得，x=1，此时，k=-ln2，综上可得，实数k的
取值范围．
解答：∵关于x的方程有四个不相等的实根，
∴偶函数f（x）=x² 和偶函数 g（x）=ln（x²+1）+k 的图象有4个交点，
故当x＞0时，f（x）=x² 和 g（x）=ln（x²+1）+k 的图象有2个交点，
由于函数g（x） 的图象经过定点（0，k），f（x）的图象过点（0，0），再由对数函数和幂函数的单调性特点可得，
当k=0时，f（x） 和 g（x）的图象在（0，+∞）上有3个交点．
当f（x） 和 g（x）的图象在（0，+∞）上相切时，由f′（x）=g′（x）可得 x=，x=1，此时，k=-ln2．
综上可得，实数k的取值范围是 ，
故选D．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．