Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和，试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过定点

【解析】

（1）设，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；

（2）由题可得，直线的斜率不为，设直线：，，，联立直线与曲线方程，由，则，即可得到，的关系式，再求出直线过定点；

解：（1）设，代入得：，即

由得：，解得：或（舍去）

故抛物线C的方程为：.

（2）由题可得，直线的斜率不为

设直线：，，

联立，得：，

，，

由，则，即.

于是

，所以

或

当时，

直线：，恒过定点，不合题意，舍去.

当，，直线：，恒过定点

综上可知，直线恒过定点