Question

已知函数f（x）=x|x+2|-2x-1
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出函数的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵当x≥-2时，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（x+2）-2x-1=x²-1；
当x＜-2时，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（-x-2）-2x-1=-x²-4x-1
∴函数用分段函数的形式表示为f（x）=…
（2）∵当x≥-2时，f（x）=x²-1，
函数图象是抛物线y=x²-1位于直线x=-2右侧部分；
当x＜-2时，f（x）=-x²-4x-1，
函数图象是抛物线y=-x²-4x-1位于直线x=-2左侧部分
∴函数y=f（x）图象由抛物线y=x²-1位于x=-2右侧部分与抛物线
y=-x²-4x-1位于x=-2左侧部分拼接而成，
因此作出函数y=f（x）图象，如图右图所示…
（3）由（2）所作的函数图象，可得
函数f（x）的单调增区间是（-∞，-2）和（0，+∞）
单调减区间是（-2，0）…
分析：（1）根据绝对值的定义，分x≥-2与x＜-2两种情况加以讨论，分别化简函数的表达式，再综上所述即可得到函数f（x）用分段函数的形式表示的式子；
（2）根据f（x）用分段函数的形式表示的式子，可得它的图象是由两个二次函数的图象各取一部分拼接而成，由此结合二次函数的图象作法，即可作出函数y=f（x）的图象；
（3）由（2）作出的图象加以观察，即可写出函数y=f（x）的单调区间．
点评：本题给出含有绝对值符号的函数，求作函数的图象并写出函数的单调区间，着重考查了绝对值的意义、函数的单调性和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．