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精英家教网长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面.该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;
(2)因地理条件的限制,边界AD、DC不能变更,而边界AB、BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧ABC上设计一点P;使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.
分析:(1)连接AC,根据余弦定理求得cos∠ABC的值,进而求得∠ABC,然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积,二者相加即可求得四边形ABCD的面积,在△ABC中,由余弦定理求得AC,进而利用正弦定理求得外接圆的半径.
(2)设AP=x,CP=y.根据余弦定理求得x和y的关系式,进而根据均值不等式求得xy的最大值,进而求得△APC的面积的最大值,与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值.
解答:精英家教网解:(1)因为四边形ABCD内接于圆,
所以∠ABC+∠ADC=180°,连接AC,由余弦定理:
AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC
=42+22-2×2×4cos∠ADC、
所以cos∠ABC=
1
2
,∵∠ABC∈(0,π),
故∠ABC=60°.
S四边形ABCD=
1
2
×4×6×sin60°+
1
2
×2×4×sin120°
=8
3
(万平方米).
在△ABC中,由余弦定理:
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC
=16+36-2×4×6×
1
2

AC=2
7

由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=2R,
∴2R=
AC
sin∠ABC
=
2
7
3
2
=
4
21
3

∴R=
2
21
3
(万米).
(2)∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC
又S△ADC=
1
2
AD•CD•sin120°=2
3

设AP=x,CP=y.
则S△APC=
1
2
xy•sin60°=
3
4
xy.
又由余弦定理AC2=x2+y2-2xycos60°
=x2+y2-xy=28.
∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy.
∴xy≤28,当且仅当x=y时取等号
∴S四边形APCD=2
3
+
3
4
xy≤2
3
+
3
4
×28=9
3

∴最大面积为9
3
万平方米.
点评:本题主要考查了解三角形的实际应用,正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值.考查了基础知识的综合运用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考(理) 题型:解答题

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(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;

(2)因地理条件的限制,边界AD、DC不能变更,而边界AB、BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧上设计一点P;使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目:高中数学 来源:江苏月考题 题型:解答题

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省莆田一中高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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