Question

17．设函数f（x）=1-$\frac{1}{x+1}$，x∈[0，+∞）．
（1）用单调性的定义证明f（x）在定义域上是增函数；
（2）设g（x）=f（1+x）-f（x），判断g（x）在[0，+∞）上的单调性（不用证明）

Answer 1

分析 设x₁，x₂∈[0，+∞），然后通过作差判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系即可．

解答 证明：（1）设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，则：
x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$）-（1-$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{（x}_{1}+1）{（x}_{1}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（2）∵函数f（x）=1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x}{x+1}$，
故f（1+x）=$\frac{x+1}{x+2}$，
故g（x）=f（1+x）-f（x）=$\frac{x+1}{x+2}$-$\frac{x}{x+1}$=$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$，
g（x）在[0，+∞）上为减函数．

点评 考查增函数的定义，以及利用定义证明函数单调性的过程．