Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1 ， ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．请建立适当的坐标系，求解下列问题： （Ⅰ）求证：异面直线A1D与BC互相垂直；
（Ⅱ）求二面角（钝角）D﹣A1C﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】解：因为侧面ABB1A1C1 ， ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°， 所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A﹣xyz
设AB=1，则C（0，1，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），D（ ， ，1）．
（Ⅰ）证明：由上可知： ，
所以 ，
所以 ，
所以，异面直线A1D与BC互相垂直．
（Ⅱ）解： =（ ， ，0）， =（0，1，﹣1），
设平面DA1C的法向量为 =（x，y，z），则有

， ，
取x=1，得 =（1，﹣1，﹣1）
又因为AB⊥平面ACC1A1 ， 所以平面ACC1A1的法向量为 =（1，0，0），
∴cos = = = ，
因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角，
所以，二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为- ．
【解析】（Ⅰ）AB，AC，AA1两两互相垂直，建立直角坐标系A﹣xyz，设AB=1，求出相关点的坐标，通过证明 =0，即可证明异面直线A1D与BC互相垂直．（Ⅱ）求出平面DA1C的法向量，平面ACC1A1的法向量利用空间向量的数量积求解即可．
【考点精析】通过灵活运用异面直线及其所成的角，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系即可以解答此题．