Question

已知点M（1，2）和直线l：x-y=5．
（1）求以M为圆心，且与直线l相切的圆M的方程；
（2）过直线y=x+5上一点P作圆M的切线PA、PB，其中A、B为切点，求当四边形PAMB的面积最小时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用直线与圆相切，确定圆的半径，从而可得圆的方程；
（2）由SPAMB=

1

2

|PM|•|AB|知，当PM垂直直线y=x+5时，面积最小，由此可求当四边形PAMB的面积最小时点P的坐标．

解答：解：（1）∵r=

|1×1-1×2-5|

12+(-1)2

=3

2

，∴圆M的方程为（x-1）²+（y-2）²=18；
（2）由SPAMB=

1

2

|PM|•|AB|知，当PM垂直直线y=x+5时，面积最小．
设P（x，y），于是由

y-2 x-1 ×1=-1 y=x+5

，得

x=-1 y=4

，
所以当四边形PAMB的面积最小时点P的坐标为（-1，4）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．