Question

如图1所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为θ的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，AB∥OQ，OP与AB交于点B，AC∥OP，OQ与AC交于点C．记∠AOP=α．
（1）若θ=

π

2

，如图1，当角α取何值时，能使矩形ABOC的面积最大；
（2）若θ=

π

3

，如图2，当角α取何值时，能使平行四边形ABOC的面积最大．并求出最大面积．

Answer 1

分析：（1）若θ=

π

2

，由题意可得 AB=sinα，BO=cosα，求得矩形ABOC的面积S=AB•BO=

1

2

sin2α，由此求得角α取何值时，能使矩形ABOC的面积最大．
（2）若θ=

π

3

，作AH⊥OP，H为垂足，则AH=sinα，OH=cosα，BH=

3

3

sinα，可得OB=cosα-

3

3

sinα．化简平行四边形ABOC的面积S′=OB•AH，等于

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．由0＜α＜

π

3

，可得当 2α+

π

6

=

π

2

时，S′取得最大值为

3

6

．

解答：解：（1）若θ=

π

2

，由题意可得 AB=sinα，BO=cosα，故矩形ABOC的面积S=AB•BO=

1

2

sin2α，
故当α=

π

4

时，能使矩形ABOC的面积最大．
（2）若θ=

π

3

，由题意可得0＜α＜

π

3

，作AH⊥OP，H为垂足，则AH=sinα，OH=cosα，tan∠ABH=

AH

BH

=tan

π

3

=

3

，
故BH=

3

3

sinα，∴OB=cosα-

3

3

sinα．
故平行四边形ABOC的面积S′=OB•AH=（cosα-

3

3

sinα ）sinα=sinαcosα-

3

3

sin²α 
=

1

2

sin2α-

3

3

×

1-cos2α

2

=

1

2

sin2α-

3

6

cos2α-

3

6

=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．
由于0＜α＜

π

3

，故

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

，故当 2α+

π

6

=

π

2

时，S′取得最大值为

3

6

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．