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已知函数的定义域为R,对任意的x1,x2都满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x>0时,f(x)>0.
(I)试判断并证明f(x)的奇偶性;
(II)试判断并证明f(x)的单调性;
(III)若数学公式均成立,求实数m 的取值范围.

解:(I)∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=0得f(0)=0.
再令x1=x,x2=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为R上的奇函数.
(II)设x1<x2,则x2-x1>0,当x>0时f(x)>0.∴f(x2-x1)>0
由f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x2)>f(x1
∴f(x)为R上的增函数.
(III)∵f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0,∴f(cos2θ-3)>-f(4m-2mcosθ)
∵f(x)为R上的奇函数,,即f(-x)=-f(x),∴f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m)
又∵f(x)为R上的增函数,cos2θ-3>2mcosθ-4m对所有的均成立,2cos2θ-4>2m(cosθ-2)恒成立,
又∵cosθ-2<0,
恒成立,
又∵,又
∴0≤cosθ≤1,∴cosθ-2<0,

当且仅当时取等号.


分析:(I)先求得f(x),令x=y=0,有f(0)=0,再令x1=x,x2=-x,即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
(II)在R上任取x1<x2,则x1-x2<0,再比较f(x1)和f(x2)的大小,从而得出:f(x)是增函数;
(III)根据f(x)为R上的增函数也是奇函数,f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有的θ均成立可转化成cos2θ-3>2mcosθ-4m对所有的均成立,然后利用分离法即可求出实数m的取值范围.对于任意x1,x2∈R,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).令x1=x2=1,可求f(1);再赋值可求f(-1)=0,进而可求f(-1×x)=f(-x)=f(1)+f(x)=f(x),可得f(x)为偶函数;
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
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(I)试判断并证明f(x)的奇偶性;
(II)试判断并证明f(x)的单调性;
(III)若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有的θ∈[0,
π2
]
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