Question

一束光线从点A（-1，0）出发，经过直线l：2x-y+3=0上的一点D反射后，经过点B（1，0）．
（1）求以A，B为焦点且经过点D的椭圆C的方程；
（2）过点B（1，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点，以AP、AQ为邻边作平行四边形APRQ，求对角线AR长度的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出点A（-1，0）关于直线l：2x-y+3=0的对称点为A′(-

9

5

，

2

5

)，由题设知椭圆长轴长等于|A′B|，从而求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组

x=my+1 x2+2y2=1

，消去x得：（my+1）²+2y²=2，然后利用韦达定理和两点间距离公式，能够求出对角线AR长度的取值范围．

解答：解：（1）点A（-1，0）关于直线l：2x-y+3=0的对称点为A′(-

9

5

，

2

5

)，
∴2a=|A′B|=

(1-(- 9 5 ))2+(0- 2 5 )2

=2

2

，c=1，∴b²=1，
所以所求椭圆方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立方程组

x=my+1 x2+2y2=2

，
消去x得：（my+1）²+2y²=2，
即（m²+2）y²+2my-1=0，
∴y1+y2=-

2m

m2+2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

2m2

m2+2

+2=

4

m2+2

∵

AR

=

AP

+

AQ

=(x1+1，y1)+(x2+1，y2)=(x1+x2+2，y1+y2)
∴|

AR

|2=(x1+x2+2)2+(y1+y2)2=(

4

m2+2

+2)2+

4m2

(m2+2)2

=4(

2

(m2+2)2

+

5

(m2+2)

+1)
令

1

m2+2

=t(0＜t≤

1

2

)，
则|

AR

|2=8t2+20t+4，
∴4＜|

AR

|2≤16，2＜|

AR

|≤4．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、两点间距离公式的应用，合理地进行等价转化．