Question

12．直线l与椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，且椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又椭圆经过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），0为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：△AOB的面积为定值．
（3）若直线l在y轴上截距为1，在y轴上是否存在点P（0，λ）使得以PA，PB为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出λ的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆经过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，A在椭圆上，可求△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，可得△AOB的面积是定值；
（3）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$求得直线的斜率为0，则A，B关于y轴对称，只要以PA，PB为邻边的平行四边形存在即可，由此可得λ≠1．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆经过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆的方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，∴$2{{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=0$，
∵A在椭圆上，∴$\frac{2{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{x}_{1}}^{2}=1$，
则|x₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|y₁|=1，
∴S=$\frac{1}{2}$|x₁||y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k²+2）x²+2ktx+t²-2=0
△=4k²t²-4（k²+2）（t²-2）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-2kt}{{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，
∴2x₁x₂+y₁y₂=0，∴2x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
即$（2+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+kt（{x}_{1}+{x}_{2}）+{t}^{2}=0$，
∴2t²-k²=2，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$|AB|=$\frac{1}{2}×\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}×\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{8{k}^{2}-8{t}^{2}+16}}{{k}^{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上，△AOB的面积是定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）设直线l的方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+2）x²+2kx-1=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2k}{{k}^{2}+2}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{{k}^{2}+2}$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，∴2x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，即k=0．
∴A，B关于y轴对称，当点P（0，λ）满足λ≠1时，都满足以PA，PB为邻边的平行四边形是菱形．
∴λ≠1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解，是中档题．