Question

已知f（x）=e^x+e^-x+2|x|，又不等式f（ax）＞f（x-1）在x∈[

1

2

，+∞)恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，+∞）

B．（-∞，-1）

C．（-1，1）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：先判断函数f（x）为偶函数，当x＞0时，由f′（x）＞0可得函数f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函数．由已知的不等式可得|ax|＞|x-1|，即|a|＞|1-

1

x

|在[

1

2

，+∞)恒成立．
由于在[

1

2

，+∞)上，|1-

1

x

|≤1，可得|a|＞1，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：由于函数f（x）=e^x+e^-x+2|x|为偶函数，当x＞0时，由f′（x）=e^x-e^-x+2＞0，
可得函数f（x） 在（0，+∞）上是增函数，故函数f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函数．
又不等式f（ax）＞f（x-1）在[

1

2

，+∞)恒成立，∴|ax|＞|x-1|，故有|a|＞|

x-1

x

|=|1-

1

x

|在[

1

2

，+∞)恒成立，
故|a|大于|1-

1

x

|在[

1

2

，+∞)上的最大值．
由于在[

1

2

，+∞)上，|1-

1

x

|≤1，
∴|a|＞1，解得a＞1，或 a＜-1，
即实数a的取值范围是 （-∞，-1）∪（1，+∞）．
故选D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．