Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁，lga₂，lga₄成等差数列．又bn=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}前3项的和等于

7

24

，求数列{a_n}的首项a₁和公差d．

Answer 1

分析：（1）先设{a_n}中首项为a₁，公差为d，根据等差中项的性质可知2lga₂=lga₁+lga₄，把a₁和d关系找出来，即d=0或d=a₁，然后对d的两种情况进行讨论即可确定答案．
（2）当d=0时根据b₁+b₂+b₃可求得a₁；当d=a₁时，根据b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，再根据b₁+b₂+b₃=

7

24

，求得a₁．

解答：（1）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列
∴2lga₂=lga₁+lga₄
∴a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
∴d=0或d=a₁
当d=0时，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，
∴

bn+1

bn

=1，
∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{b_n}为等比数列
综上可知{b_n}为等比数列
（2）当d=0时，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，
∴b₁+b₂+b₃=

3

a1

=

7

24

∴a₁=

72

7

；
当d=a₁时，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

∴b₁+b₂+b₃=

1

2a1

+

1

4a1

+

1

8a1

=

7

8a1

=

7

24

∴a₁=3
综上可知

a1= 72 7 d=0

或

a1=3 d=3

点评：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．