Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，AC=a，动点P，Q自A出发分别沿边界按ABCA的方向及ACBA的方向运动，它们的速度之比是1：3，当P，Q相遇时，停止运动，点P所走过的路程为x，△APQ的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并求出定义域．

Answer 1

分析 分布讨论当点P，Q在AB上，BC上，AC上，对应三角形的底的长度，和三角形的高，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，AC=a，
∴AB=$\sqrt{3}$a，BC=2a，三角形的周长，为3a+$\sqrt{3}$a，
∵P，Q的速度之比是1：3，
∴P，Q的路程之比是1：3，
若点P所走过的路程为x，则点Q所走过的路程为3x，
若当P，Q相遇时，停止运动，
则3x+x=3a+$\sqrt{3}$a，
即x=$\frac{1}{4}$（3a+$\sqrt{3}$a），即x的取值范围是[0，$\frac{1}{4}$（3a+$\sqrt{3}$a）]．
①当点Q在线段AC上时，0＜x≤$\frac{1}{3}$a时，三角形APQ为直角三角形，S=$\frac{1}{2}x•3x=\frac{3}{2}{x}^{2}$；
②当点Q在线段CB上时，$\frac{1}{3}$a＜x≤a时，作出示意图如下：
此时BQ=AC+BC-3x=3a-3x，
则△APQ的高为BQsinB=$\frac{3a-3x}{2}$，

所以S=$\frac{1}{2}$x•$\frac{3a-3x}{2}$=$\frac{3ax-3{x}^{2}}{4}$；
③当Q在线段AB上时，不能构成三角形，
所以函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{x}^{2}}{2}，}&{0＜x≤\frac{1}{3}a}\\{\frac{3ax-3{x}^{2}}{4}，}&{\frac{1}{3}a＜x≤a}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．