Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，若函数g（x）与函数f（x）的图象关于点P（

π

4

，1）对称，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由点M的坐标求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．再根据函数g（x）与函数f（x）的图象关于点P（

π

4

，1）对称，求得函数g（x）的解析式．

解答： 解：由函数的图象可得A=

3

，

T

2

=

π

ω

=

5π

6

-

π

3

，∴ω=2．
再把点M（

π

3

，0）代入，可得

3

sin（2×

π

3

+φ）=0，∴φ+

2π

3

=2kπ，k∈z．
再结合|φ|＜π，可得φ=-

2π

3

，∴函数f（x）=

3

sin（2x-

2π

3

）．
在函数g（x）上任意取一点R（x，y），则点R关于点P（

π

4

，1）的对称点Q（

π

2

-x，2-y）在f（x）的图象上，
故有2-y=

3

sin[2（

π

2

-x）-

2π

3

]=-

3

sin（

π

3

-2x）=

3

sin（2x-

π

3

），
∴y=2-

3

sin（2x-

π

3

），即 g（x）=2-

3

sin（2x-

π

3

）．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，利用图象的对称性求函数的解析式，属于中档题．