Question

如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE²=EF•EC．
（1）求证：A、P、D、F四点共圆；
（2）若AE•ED=24，DE=EB=4，求PA的长．

Answer 1

分析：（1）由已知中DE²=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；
（2）由（1）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．

解答：解（1）证明：∵DE²=EF•EC，∴

DE

CE

=

EF

ED

，
又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；
（2）由（Ⅰ）及相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，
又BE•EC=AE•ED=24，∴EC=6，EF=

DE2

EC

=

8

3

，PE=9，PB=5，PC=PB+BE+EC=15，
由切割线定理得PA²=PB•PC=5×15=75，
所以PA=5

3

为所求．

点评：本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，圆内接四边形的判定定理，其中（1）的关键是证得∠P=∠EDF，（2）的关键是求出PB，PC的长，为切割线定理的使用创造条件．