Question

【题目】已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据题意，数列{an}中，n（an+1﹣an）=an+1，可得，利用迭代法和裂项求和，以及放缩法可得＜3，则原不等式可转化为2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，构造函数f（a）=2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，可得，解得即可.

根据题意，数列{an}中，n（an+1﹣an）=an+1，

∴nan+1﹣（n+1）an=1，

∴，

∴=（﹣）+（﹣）+…+（a2﹣a1）+a1，

=（）+（）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，

∵＜﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3恒成立，

∴3≤﹣2t2﹣（a+1）t+a2﹣a+3

∴2t2+（a+1）t﹣a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，

设f（t）=2t2+（a+1）t﹣a2+a，t∈[0，1]，

∴，

即，

解得a≤﹣1或a≥3，

故答案为：C．