【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,左顶点为
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为
的中点,是否存在定点
,对于任意的
都有
,若存在,求出点
的
坐标;若不存在说明理由;
(3)若过点作直线
的平行线交椭圆
于点
,求
的最小值.
【答案】(1)(2)
(3)
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率和左顶点,求出,
,由此能求出椭圆
的标准方程;(2)直线l的方程为
,与椭圆联立,得,
,由此利用韦达定理、直线垂直,结合题意能求出结果;(3)由
,可设
的方程为
,与椭圆联立方程得
点的横坐标,由
,结合基本不等式即可求出最小值.
试题解析:(1)∵左顶点为
∴
又∵
∴
又∵
∴椭圆的标准方程为
.
(2)直线的方程为
,由
消元得
化简得, ,则
当时,
,
∴
∵点为
的中点
∴点的坐标为
,则
.
直线的方程为
,令
,得点
的坐标为
,假设存在定点
使得
,则
,即
恒成立,
∴恒成立
∴即
∴定点的坐标为
.
(3)∵
∴的方程可设为
,由
得
点的横坐标为
由,得
,
当且仅当即
时取等号,
∴当时,
的最小值为
.
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【题目】某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数 | ||||
加工的时间 |
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出关于
的线性回归方程
.
(3)试预测加工个零件需要多少时间?
附录:参考公式: ,
.
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【题目】设函数是定义在
上的偶函数,当
时,
).
(1)当时,求
的解析式;
(2)若,试判断
的上单调性,并证明你的结论;
(3)是否存在,使得当
时,
有最大值
.
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【题目】在等腰中,
,腰长为
,
、
分别是边
、
的中点,将
沿
翻折,得到四棱锥
,且
为棱
中点,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)在线段上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求二面角
的余弦值,若不存在,请说明理由.
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【题目】(本小题满分13分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84
乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
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【题目】已知、
、
为实数,
,
,记集合
,
,则下列命题为真命题的是( )
A.若集合的元素个数为2,则集合
的元素个数也一定为2
B.若集合的元素个数为2,则集合
的元素个数也一定为2
C.若集合的元素个数为3,则集合
的元素个数也一定为3
D.若集合的元素个数为3,则集合
的元素个数也一定为3
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【题目】已知函数
在点
处的切线与直线
平行,且函数
有两个零点.
(1)求实数的值和实数
的取值范围;
(2)记函数的两个零点为
,求证:
(其中
为自然对数的底数).
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