Question

给出下列四个命题：
①?x∈R，e^x≥ex；②?x₀∈（1，2），使得(

x

2 0

-3x0+2)ex0+3x0-4=0成立；③若ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取得的点到O距离大小1的概率为1-

π

2

；④在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形，其中正确命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①设f（x）=e^x-ex，求导数，利用导数的正负与函数单调性的关系即可证得e^x≥ex；
②分别将区间（1，2）的两个端点代入，发现对应的函数值一正一负，根据零点存在定理可得结论；
③要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．
④利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理即可证得．

解答：解：①设f（x）=e^x-ex，则设f′（x）=e^x-e，当x≥1时，f′（x）=e^x-e≥0，
故f（x）=e^x-ex，在[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，f（x）≥f（1），即e^x-ex≥0，∴e^x≥ex；
同理，当x＜1时，也有e^x≥ex．
∴①?x∈R，e^x≥ex成立．①是正确命题；
②将x₀=1代入：（

x

2 0

-3x0+2）ex0+3x0-4＜0，
将x₀=2代入：（

x

2 0

-3x0+2）ex0+3x0-4＞0，
故?x₀∈（1，2），使得(

x

2 0

-3x0+2)ex0+3x0-4=0成立．②是正确命题；
③已知如图所示：
长方形面积为2，
以O为圆心，1为半径作圆，
在矩形内部的部分（半圆）面积为

π

2

因此取到的点到O的距离大于1的概率P=

2- π 2

2

=1-

π

4

．
③是不正确命题；
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，④是正确命题．
其中正确命题的序号是 ①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题主要以几何概型、三角形的形状判断、导数等为平台，考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．