Question

13．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），如果对于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，2]都有-1≤f（x）≤1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用分类思想，函数的单调性转化为$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-lo{g}_{a}3≥-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}2≥-1}\\{-lo{g}_{a}3≤1}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），
x∈[$\frac{1}{3}$，2]，
∴当a＞1时，-log_a3≤log_ax≤log_a2，
∵-1≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-lo{g}_{a}3≥-1}\end{array}\right.$，
即a≥3；
当0＜a＜1时，log_a2≤log_ax≤-log_a3，
∵-1≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}2≥-1}\\{-lo{g}_{a}3≤1}\end{array}\right.$，
即0$＜a≤\frac{1}{3}$；
实数a的取值范围：a≥3或0$＜a≤\frac{1}{3}$．

点评 本题考察了不等式的恒成立问题，函数的性质，转化思想，属于中档题，关键是正确了，理解题意．