Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点O作倾斜角为

π

3

的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．
（1）求⊙M和抛物线C的方程；
（2）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据

p

2

=OA•cos60°可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；
（2）以点Q为圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，求出⊙Q的方程，可得ST的方程，从而可求定点坐标．

解答：（1）解：因为

p

2

=OA•cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x
设⊙M的半径为r，则r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4；
（2）证明：以点Q为圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦
设点Q（-1，t），则QS²=QM²-4=t²+5，
所以⊙Q的方程为（x+1）²+（y-t）²=t²+5
从而直线ST的方程为3x-ty-2=0（*）
因为x=

2

3

，y=0一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（

2

3

，0）．

点评：本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，考查直线恒过定点问题，确定ST是⊙Q与⊙M的公共弦是关键．