Question

15．过点A（2，1）做曲线f（x）=x³-3x的切线，最多有（　　）

• A． 3条
• B． 2条
• C． 1条
• D． 0条

Answer 1

分析 设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再利用其导函数判断极值点，根据极值得到切点横坐标的个数，从而答案可求．

解答 解：设切点为P（x₀，x₀³-3x₀），f′（x₀）=3x₀²-3，
则切线方程y-x₀³+3x₀=（3x₀²-3）（x-x₀），
代入A（2，1）得，2x₀³-6x₀²+7=0．
令y=2x₀³-6x₀²+7=0，则由y′=0，得x₀=0或x₀=2，
且当x₀=0时，y=7＞0，x₀=2时，y=-1＜0．
所以方程2x₀³-6x₀²+7=0有3个解，
则过点A（2，1）作曲线f（x）=x³-3x的切线的条数是3条．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程，考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数，是中档题．