Question

椭圆C₁：

x2

2

+y²=1，椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（

5

，0），斜率为1的直线l与椭圆C₂相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，-1）．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设P为椭圆C₂上一点，点M、N在椭圆C₁上，且

OP

=

OM

+2

ON

，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆C₂的c，设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求椭圆方程；
（2）设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x₁x₂+2y₁y₂=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值．

解答： 解：（1）椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（

5

，0），
则c=

5

，即有a²-b²=5，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
两式相减的，

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0，
由于x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
则有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2b2

a2

=1，②
由①②解得，a=

10

，b=

5

．
则椭圆C₂的方程为

x2

10

+

y2

5

=1；
（2）设P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则 x₀²+2y₀²=10，x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
由

OP

=

OM

+2

ON

，
可得：（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
∴

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，
∴x₀²+2y₀²=（x₁+2x₂）²+2（y₁+2y₂）²
=x₁²+4x₁x₂+4x₂²+2y₁²+8y₁y₂+8y₂²=（x₁²+2y₁²）+4（x₂²+2y₂²）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=10+4（x₁x₂+2y₁y₂）=10．
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

，即k_OM•k_ON=-

1

2

，
∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为-

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、以及点差法求中点弦问题、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、向量相等、斜率计算公式、整体代入等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．