Question

如图，已知△OFP的面积为m，且=1．
（I）若，求向量与的夹角θ的取值范围；
（II）设，且．若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据△OFP的面积为m，设向量与的夹角为θ，因为=m，×=1，
∴•cosθ=1，可得tanθ=2m，进而可得答案．
（2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设=c，P点坐标为（x，y），所以=m
••|y|=，即．因为=（c，0），=（x-c，y），•=1
所以
所以可得==，
设，判断知f（c）在[2，+∞）上是增函数．
所以当c=2时，f（c）为最小，从而为最小，此时P（）．
最终得到答案．
解答：解：（I）∵△OFP的面积为m，设向量与的夹角为θ．
=m ①
∵×=1，∴•cosθ=1 ②
由①、②得：tanθ=2m
∵，∴，∴
即向量与的夹角θ的取值范围为
（II）如图，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
设=c，P点坐标为（x，y）∵=m
∴••|y|=，∴
∵=（c，0），=（x-c，y），•=1
∴
∴==
设，当c≥2时，任取c₂＞c₁≥2
有
当c₂＞c₁≥2时，
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函数
∴当c=2时，f（c）为最小，从而为最小，此时P（）
设椭圆的方程为，则∴a²=10，b²=6
故椭圆的方程为．
点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的标准方程的求法．属难题．