【题目】已知多面体
，
，
，
均垂直于平面
，
，
，
，
．
（1）证明：
⊥平面
；
（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值．
【答案】(1)见解析；（2）直线
与平面
所成的角的正弦值为
.
【解析】
（1）根据直线与平面垂直的判定定理，要证
平面
，只需证
与平面两条相交直线垂直。根据已知条件可求与
的长度，然后跟据勾股定理可证
.。同理可得
.，进而可得平面。（2）要求直线与平面所成的角的正弦值，应先作角。由条件可得平面
平面 。所以过点
作
，交直线于点
，连结
. 可知
是与平面所成的角.根据条件可求
的三边长，进而可由余弦定理求得
，然后可求
。进而求得
，在
中即可求得结果。
（1）由
得
，
所以
.
故
.
由
，
得
，
由
得
，
由
，得
，所以
，故.
因此平面.
（2）如图，过点作，交直线于点，连结.
由平面得平面平面，
由得
平面，
所以是与平面所成的角.
由
得
，
所以
，故
.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
方法二：
（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此
由
得.
由
得
.
所以平面.
（2）设直线与平面所成的角为
.
由（Ⅰ）可知
设平面的法向量
.
由
即
可取
.
所以
.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
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【题目】如图，直三棱柱
的底面
是等腰直角三角形，
，侧棱
底面
，且
，
是
的中点．
（1）求直三棱柱的全面积；
（2）求异面直线
与
所成角
的大小（结果用反三角函数表示）；
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【题目】设数列
和
的项数均为
，则将两个数列的偏差距离定义为
，其中
.
（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；
（2）设
为满足递推关系
的所有数列的集合，和
为中的两个元素，且项数均为，若
，
，和的偏差距离小于2020，求最大值；
（3）记
是所有7项数列
或
的集合，
，且
中任何两个元素的偏差距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.
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【题目】实数a，b满足ab＞0且a≠b，由a、b、
、
按一定顺序构成的数列（ ）
A. 可能是等差数列，也可能是等比数列
B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列
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【题目】已知数列{an}是以d为公差的等差数列，{bn}数列是以q为公比的等比数列．
（1）若数列{bn}的前n项和为Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），求证：数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．
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【题目】如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点
是圆锥的顶点，
是圆柱下底面的一条直径，
、
是圆柱的两条母线，
是弧的中点.
（1）求异面直线
与
所成的角的大小；
（2）求点
到平面
的距离.
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【题目】已知曲线
，对坐标平面上任意一点
,定义
,若两点
,
，满足
，称点,在曲线
同侧；
，称点,在曲线两侧.
(1)直线
过原点，线段
上所有点都在直线同侧，其中
，
,求直线的倾斜角的取值范围；
(2)已知曲线
，
为坐标原点，求点集
的面积；
(3)记到点
与到
轴距离和为
的点的轨迹为曲线
，曲线
，若曲线上总存在两点
,
在曲线两侧,求曲线的方程与实数
的取值范围.
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