Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂•q．
（1）求数列a_n与b_n的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）分别利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q，等差数列的公差d，即可求解
（2）由（1）知：c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．利用错位相减求和即可求解

解答：解：（1）设：{a_n}的公差为d，
因为

b2+S2=12 q= S2 b2

所以

q+6+d=12 q= 6+d q

解得q=3或q=-4（舍），d=3．…..（3分）
故a_n=3n，bn=3n-1…（6分）
（2）由（1）知：c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．
故：Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
  3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹
两式相减可得，-2Tn=3+32+33+…+3n-n•3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1
∴Tn=

1

4

(2n-1)3n+1+

3

4

…．（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的求和公式、等比数列的通项公式及错位相减求和方法的应用．