Question

已知a∈R，函数f（x）=x²+ax-2-lnx．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若a=1，且对于区间[

1

3

，1]上任意两个自变量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的取值范围．
（参考数据：ln3≈1.0986）

Answer 1

分析：（1）先求导数：f′（x）=2x+a-

1

x

，由函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而构造关于a的不等式，进而可求出实数a的取值范围；
（2）把a=1代入，结合（1）可判断出函数f（x）在区间[

1

3

，1]上的值域，进而可得实数c的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=2x+a-

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=

1

x

-2x，则函数g（x）在[1，+∞）上为减函数
∴当x=1时，函数g（x）取最大值-1
∴a≥-1，即实数a的取值范围为[-1，+∞）
（2）当a=1时，f（x）=x²+x-2-lnx．f′（x）=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

当x∈[

1

3

，

1

2

]时，f′（x）≤0，此时函数为减函数
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）≥0，此时函数为增函数
故当x=

1

2

时，f（x）取最小值ln2-

5

4

当x=1时，f（x）取最大值0
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

5

4

-ln2
∴c≥

5

4

-ln2

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数在最大值，最小值问题中的应用，熟练掌握导数的符号与函数单调性的关系是解答的关键．